RoboLab.Suehiro - articles

amway

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-28T14:05:16+00:00

Amwayのネズミ講的体質についてネットを見ていたらまだAmwayは続いているということに気付いたので, とても古い個人的なメモですが掘り出して掲載することにしました．懐かしい．古い（1996.7.15の）記事ではありますが本質的な内容は変わっていないと思っています．長い考察は良いから結論だけ知りたいという方は

atan2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-09-03T03:38:24+00:00

atan2 一般に正接関数($x=\mathrm{tan}\,\theta$)の逆関数($\theta=\mathrm{tan}^{-1}x$)は値域を$(-\pi/2,\pi/2)$としている．たとえば， $$ \mathrm{tan}(\pi/4)=1 $$ であり， $$ \mathrm{tan}^{-1}(1)=\pi/4 $$ である．しかし，これだとx,yの座標値でx軸からの回転角度を出すときに$\mathrm{tan}^{-1}(y/x)$としたのでは図の斜線部（第2象限，第3象限）の角度を出すことが出来ない．$\mathrm{atan2}$$\pi/2$$-\pi/2$$$ \theta = \mathrm{atan2}(y,x) =　\left\{ \begin{array}{cc} \mathrm{tan}^{-1}(y/x)-\pi & (x<0, \, y<0) \\ -\pi/2 & (x=0,\, y<0) \\ \mathrm{tan}^{-1}(y/x) & (x>0) \\ \pi/2 & (x=0,\, y>0) \\ \mathrm{t…

chain_of_transform

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-08T11:42:45+00:00

変換の連鎖 3×3の直交行列で表現された座標の姿勢変換（回転変換）や4×4の同時変換行列で表現された座標変換は，乗算により連鎖させることができる．その乗算は数の演算と異なり可換性がないので（交換法則が成り立たない）どの順で掛けていくかが重要になる．$ \alpha $$R_x (\alpha) $$ \beta $$R_y (\beta) $$$ R_x (\alpha) R_y (\beta) 　\tag{1} $$$$ R_y (\beta) R_x (\alpha) \tag{2} $$$\alpha$$\beta$$\beta$$\alpha$$\alpha$$\beta$$R_x (\alpha) R_y (\beta)$$R_y (\beta) R_x (\alpha) $$\beta=\pi/2$$\alpha$$-\alpha$$\alpha$$\beta$$\beta=\pi/2$$\pi/2$$R_x(\alpha)$$R_y (\beta)$$R_x(\alpha)$$R_x (\alpha) R_y (\pi/2)$$R_y (\pi/2) R_x (…

codesys

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-03-20T02:32:41+00:00

codesys 情報ページ：本家： * codesysアカウント作成 * codesysダウンロード * インストール codesysはwindowsでしか動かない linuxの場合はwineを使うらしい：使い方のイメージ * windowsでコード生成

differential_of_frame

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-29T14:19:12+00:00

座標変換の微分座標変換を用いた順運動学からヤコビ行列を求めるには，個々の関節パラメタを含んだ座標変換行列の微分を考えればよい．座標変換行列の微分は，座標変換行列自身と微分を表す行列との積で表現できる．$x$$$ T_{\alpha}(\alpha) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{cos}\, \alpha & - \mathrm{sin}\, \alpha & 0\\ 9 & \mathrm{sin}\, \alpha & \mathrm{cos}\, \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$$$ \dfrac{\partial{T_{\alpha}}}{\partial{\alpha}} = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\mathrm{sin}\, \alpha & - \mathrm{cos}\, \alpha & 0\\ 0 & \mathrm{cos}\, \a…

fk_jacob_ik

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-04T01:40:14+00:00

運動学に関するプログラム kinematics.pyプログラムでは以下を扱う． * シリアルリンクアームの構造定義 * 順運動学 * ヤコビ行列 * 逆運動学の数値解法 * 逆運動学の数値解法の１ステップ　＝　分解運動制御

forward_kinematics

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-07-17T02:08:51+00:00

順運動学３自由度アームの順運動学座標系の設定典型的な3自由度アームとその座標系の設定を図1に示す．この3自由度アームはアームの運動学の導入部で述べたように可動域内の自由な位置に手先を動かすことが出来る．座標系の設定は$0$$\theta_1 = \pi/6, \, \theta_2 = \pi/4, ,\ \theta_3 = pi/2$$\theta_1 = \pi/6, \, \theta_2 = \pi/4, ,\ \theta_3 = pi/2$$base$$L_1$$L_1$$\Sigma_0$$\Sigma_1$$\Sigma_1$$^1z_{wrist}$$\Sigma_0$$^0z_4$$$ ^0z_{wrist} = {^1z_{wrist}} = l_b+l_1+l_2 \mathrm{cos}\, \theta_2 + l_3 \mathrm{cos}(\theta_2 + \theta_3) $$$\Sigma_1$$^1x_{wrist}$$$ {^1x_{wrist}} = l_2 \mathrm{sin}\, \theta_2 + l_3…

frame

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-04T00:02:11+00:00

座標系の表現（座標変換）三次元直交座標系は原点の位置と姿勢で定めることが出来る．原点の位置に関しては3Dベクトルで説明した位置ベクトルを使うのが分かりやすい．姿勢に関しては座標系の姿勢（回転）の表現で説明したように多数の表現方法がある．$^0\boldsymbol{d}_1$$^0A_1$$^0\boldsymbol{d}_1$$$ ^0\boldsymbol{v} = {^0A_1} {^1\boldsymbol{v}}　\tag{1} $$$$ ^1\boldsymbol{v} = {^1A_2} {^2\boldsymbol{v}} \tag{2} $$$$ ^0\boldsymbol{v} = {^0A_1}{^1A_2}{^2\boldsymbol{v}}　\tag{3} $$$\Sigma_0$$^0\boldsymbol{p}$$\Sigma_0$$\Sigma_1$$^0\boldsymbol{d}_1$$\Sigma_1$$^1\boldsymbol{p}$$^1\boldsymbol{p}$$\Sigma_1$$\Sigma_0$$$ ^0\bolds…

gauss_newton

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-05-03T23:06:14+00:00

ガウス・ニュートン法非線形多変数関数$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$の最小二乗解を求める．すなわち $$ \boldsymbol{x} = \underset{\boldsymbol{x}}{\operatorname{argmin}} \|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\| $$ となる$\boldsymbol{x}$を求める．ガウス・ニュートン法は， $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$となる$\boldsymbol{x}$を求めるニュートン・ラフソン法の拡張になっている．手順は以下の通り．$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$$\boldsymbol{x}_0$$$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_i) + J(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i) = \boldsymbol{0} \ta…

geo_basic

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-25T03:38:15+00:00

geo.pyの基本的な使い方 geo_basic I wrote a module called geo.py that performs 3D geometric operations such as vectors, rotation matrices, and coordinate transformations. This ipynb file shows a basic usage of the geo module. This was run under the following conditions, - ProBook 474s, メモリ：8 GB，CPU：Core™ i5-3230M，OS: Ubuntu 20.04 - jupyter notebook，python3

geo_manual

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-26T13:14:56+00:00

座標系に関する演算プログラムあらかじめベクトル，回転行列，座標系などのクラスとそれらの演算を用意することで座標系を用いたロボットの動作生成や作業環境の記述などのプログラムが容易になる．$\Sigma_0$$\Sigma_0$$\Sigma_1$$^0T_1$$\Sigma_1$$\Sigma_2$$\Sigma_0$$^0T_2$$\Sigma_2$$\Sigma_1$$\Sigma_0$$\Sigma_0$$\Sigma_0$$\Sigma_1$$^0T_1$$\Sigma_1$$\Sigma_2$$\Sigma_0$$^0T_2$$\Sigma_2$$\Sigma_1$$\Sigma_0$

ik_numerical

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-23T07:36:16+00:00

逆運動学の数値解法逆運動学の数値解法の準備準備として， * ニュートン・ラフソン法 * ガウス・ニュートン法 * 特異値分解を理解しておくとよい．逆運動学の数値解法は，自由度に過不足がない場合はニュートン・ラフソン法での解法になる．そうでない場合 $\boldsymbol{p}_T$$\boldsymbol{\theta}_0 = \left( \begin{array}{c} \theta_{0,1} \\ \theta_{0,2} \end{array}\right)$$\boldsymbol{\theta}_i$$\boldsymbol{p}_i$$\boldsymbol{p}_i$$\boldsymbol{p}_T$$\Delta\boldsymbol{p}_i$$\Delta\boldsymbol{p}_i$$\Delta\boldsymbol{\theta}_i=J^{-1}\Delta\boldsymbol{p}_i$$\boldsymbol{\theta}_{i+1} = \boldsymbol{\theta}_i + \Delta\bo…

inverse_kinematics

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-26T13:21:19+00:00

逆運動学（幾何的/解析的手法）逆運動学とは，順運動学とは逆に手先の位置・姿勢が与えられたときに，それを実現する関節パラメタを求める問題である．逆運動学の問題は以下のようにいろいろと難しい点がある．$$ \left( \begin{array}{c} ^0x_{wrist} \\ ^0y_{wrist} \\ ^0z_wrist \end{array} \right) $$$\theta_1$$\theta_2$$\theta_3$$$ {^0x_{wrist}} =　{^1x_{wrist}}\mathrm{cos}\,\theta_1 = (l_2 \mathrm{sin}\, \theta_2 + l_3 \mathrm{sin}(\theta_2 + \theta_3))\mathrm{cos}\,\theta_1 \tag{1} $$$$ {^0y_{wrist}} = {^1x_{wrist}}\mathrm{sin}\,\theta_1 = (l_2 \mathrm{sin}\, \theta_2 + l_3 \mathrm{sin}(\theta_2 + \th…

jacobian_matrix

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-10-01T04:11:56+00:00

ロボットアームのヤコビ行列一般に多変数関数の微小量の関係は偏微分係数行列（ヤコビ行列）で線形関係として近似的に表現できる．ロボットアームのヤコビ行列はロボットの関節の微小な動き（もしくは速度）とロボットの手先の位置（および姿勢）の微小な動き（もしくは速度）との関係を表現したものである．これを使うと$\theta_1$$\theta_2$$\boldsymbol{\theta}=\left( \begin{array}{c} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \right)$$\boldsymbol{p}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$$\theta_1$$\theta_1$$\theta_1+\Delta\theta_1$$\boldsymbol{p}$$\boldsymbol{p}+\Delta\boldsymbol{p}_1 = \left( \begin{array}{c} x+\Delta x_1 \\ y+\Delta y_1 \end{array} \rig…

kinematics

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-02-03T05:32:46+00:00

ロボットアームの運動学ロボットのための座標系表現で述べたようにロボットの動作や作業環境を座標系を用いて記述することには様々な利点がある．そのためにはロボット自身を座標系を用いて記述する必要がある．それを扱うのがロボットアームの運動学である．$0$$L_{i-1}$$L_i$$^{i-1}T_i$$L_{i-1}$$J_i$${^{i-1}T_{J_i}}$$q_i$${^{J_i}T_i}(q_i)$$q_i$$\theta_i$$d_i$$$ ^{i-1}T_i = {^{i-1}T_{J_i}}{^{J_i}T_i}(q_i)　\tag{1} $$${^{J_i}T_i}$$L_i$$z_i$$L_{i-1}$$z_{i-1}$$L_i$$z_i$$a_{i-1}$$x_{i-1}$$z_{i-1}$$L_{i-1}$$a_{i-1}=0$$z_{i-1}$$z_{i-1}$$z_i$$x_{i-1}$$\alpha_{i-1}$$z_i$$i$$L_{i+1}$$z_{i+1}$$z_i$$d_i$$x_{i-1}$$x_i$$z_i$$\theta_i$$y_{i}…

matrix_vs_quaternion_1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-25T04:17:35+00:00

回転行列と四元数の計算速度比較目的ベクトル，回転行列，座標変換行列といった三次元幾何演算をpythonのリストをベースにgeo.pyというモジュールを自作している．最近，回転の表現に四元数(QUATERNION)がよく用いられているが，回転行列(MATRIX)と比較して本当にメリットがあるのかを，演算速度の点で比較してみることにした．

matrix_vs_quaternion_2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-25T11:16:34+00:00

回転行列と四元数の姿勢の補間の比較目的ベクトル，回転行列，座標変換行列といった三次元幾何演算をpythonのリストをベースにgeo.pyというモジュールを自作している．最近，回転の表現に四元数(QUATERNION)がよく用いられているが，回転行列(MATRIX)と比較して本当にメリットがあるのかを，特に四元数が得意とされている回転の補間を演算速度の点で比較してみることにした．…

matrix

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-01-30T02:55:39+00:00

三次元直交行列（回転行列）と座標系ロボットの分野では直交行列は大きく以下の３つの役割を果たす． * 直交座標系（ひいては物体）の姿勢を表現する * 参照座標系を替えた場合のベクトルの成分表示の変換を行う$$ A^\mathrm{T} A = A A^\mathrm{T} = I $$$ I $$$ A^{-1}=A^\mathrm{T} $$$ A $$ A^\mathrm{T}$$A^{-1}$$$ I = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$$ A $$$ A= \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \end{array} \right)　\tag{1} $$$$ A^\mathrm{T} A = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}^\mathrm{T}_x \\ \bo…

newton_raphson

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-14T13:32:29+00:00

ニュートン・ラフソン法非線形多変数方程式の数値解法テーラー展開による一次近似 $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) + \left( \dfrac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}} \right) (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0) + \cdots $$ ここで$J=\left( \dfrac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}} \right)$はヤコビ行列. 簡略化して書くと $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \simeq \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) + J(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0) $$ ニュートン・ラフソン法 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}…

nextage_rtm

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-09-22T02:16:32+00:00

nextageをOpenRTM-aistで使うカワダロボティクス株式会社の双椀ロボットnexgateは，カワダ純正の作業プログラミング環境が提供されている普通のnextageと一般社団法人東京オープンソースロボティクス協会（tork）が提供するros/rtmでのプログラミング環境の利用が推奨されている研究用プラットフォームnextage-openとが存在している．

note_on_ik

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-04-13T01:22:48+00:00

逆運動学を用いた動作の注意点動作の目標がハンドなどがとるべき座標系（位置・姿勢）として与えられた場合，一般には逆運動学計算で関節パラメタ（関節角度）を求めて動作させることが多い $\theta_1 = 0$$\theta_1$$\theta_1$

numpy_vs_geo

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2024-03-28T05:43:35+00:00

numpyとgeo.pyの速度比較 – numpy はリストと比べて速いのか – 目的ベクトル，回転行列，座標変換行列といった三次元幾何演算をpythonのリストをベースにgeo.pyというモジュールを自作している．リストベースの処理よりnumpyを使ったほうが高速なのではないかとの疑念もあるので比較を行う．

pybullet

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-10T02:16:49+00:00

pybulletの使い方メモ mujocoの使い方メモでmujocoをいろいろいじってみた．使い勝手は悪くはないのだが，接触におけるslipの発生がどうしてもなくせない．これは物体を把持したり，ものを積み重ねる（コーヒーカップを台の上に置くなど）などの普通の作業をちゃんと模擬できなくて困る．

quaternion

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-03T23:59:22+00:00

四元数四元数は複素数を拡張したもので3つの虚数単位$i, j , k$を用いて $$ q = q_w + q_x i + q_y j + q_z k $$ と表される数である．ここで，$q_w,q_x, q_y, q_z$は実数であり, $$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$ となっている．$i,j,k$相互の積は， $$ ij = k,\; jk = i, \; ki = j, \; ji = -k, \; kj = -i, \; ik=-j $$ となり虚数単位同士の交換則が成り立たっていないことに注意する必要がある．$ \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right)$$ \boldsymbol{n} = \left( \begin{array}{c} n_x \\ n_y \\ n_z \end{array} \right)$$\theta$$\boldsymbol{n}$$ - \pi \le \theta \le \pi $$\bold…

rmrc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-07-07T01:30:54+00:00

分解運動（速度）制御ヤコビ行列でも述べたが，望ましい手先座標系（位置・姿勢）の微小変位（速度）を実現する関節パラメタの微小変位（速度）をヤコビ行列（の逆行列）を用いることにより求めることができる．$T_{ref}$$T$$\boldsymbol{e}$$$ \boldsymbol{v}=k\boldsymbol{e} $$$\boldsymbol{v}$$k$$$ \boldsymbol{\dot{\theta}}=J^+\boldsymbol{v} $$$$ G(s)=\frac{1}{1+s/k} $$$k$$\boldsymbol{v}$$\boldsymbol{v}_0$$D$$\boldsymbol{f}$$$ \boldsymbol{f}=D(\boldsymbol{v} - \boldsymbol{v}_0) $$$$ \boldsymbol{v} = \frac{1}{D} \boldsymbol{f} + \boldsymbol{v}_0 $$$\boldsymbol{v}_0=0$$$ \boldsymbol{v}_0 = -\frac{1}{D} \bo…

robot_frame

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-06-29T12:28:31+00:00

ロボットのための座標系表現ロボットが作業を行うためには対象となるものの位置や姿勢，ロボットの動作を記述する必要がある．三次元空間での位置・姿勢の表現として三次元直交座標系が一般性があり非常に優れたものとなっている．$T$

rotation

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-03T23:56:04+00:00

座標系の姿勢（回転）の表現直交行列で述べたように座標系の姿勢の表現と座標系の姿勢やベクトルの回転変換は基本的に同じものである．ここでは様々な姿勢（回転）の表現について説明する．$ \theta $$$ \boldsymbol{e}_x = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \: \boldsymbol{e}_y = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \cos \theta \\ \sin \theta \end{array} \right), \: \boldsymbol{e}_z = \left( \begin{array}{c} 0 \\ - \sin \theta \\ \cos \theta \end{array} \right) $$$ \theta $$R_x (\theta) $$$ R_x (\theta) = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{…

rtc_handle

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-11-15T02:31:02+00:00

rtc_handle RTミドルウェア（OpenRTM-aist,RTM）のRTコンポーネント（RTC）をユーザのpython環境から自由に操作するための環境を提供するツールです．とりあえずpython2, python3の両方で動くはずです．

small_rotation

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2025-01-13T09:13:56+00:00

微小回転の近似回転角度が微小な場合の回転行列を考える． sin, cosのテーラ展開 $ \theta = 0 $の周りで$\mathrm{sin}$,$\mathrm{cos}$のテーラー展開を考えると $$ \mathrm{sin}\,x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots \\ \mathrm{cos}\,x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} - \dfrac{x^4}{4!} + \cdots $$ 2次以上の項を無視すると $$ \mathrm{sin}\,x \simeq x \tag{1} $$ $$ \mathrm{cos}\,x \simeq 1 \tag{2} $$ ロドリゲス回転軸，角度表現（Rodrigues）を直交行列で表現すると $$ R(\boldsymbol{n}, \theta) $$$$ = \left( \begin{array}{cc} \mathrm{cos}\,\theta + n_x^2 (1 - \mathrm{cos}\,\theta) & n_…

svd

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2021-07-23T15:43:17+00:00

特異値分解特異値分解（Singular Value Decomposition, SVD）はとても役に立つ行列の分解法である．しかし線形代数の講義などでは扱われることが少なく，とても残念なことである．特異値分解とは $A$$(m \times n)$$$A = UWV^T$$$U$$(m \times r)$$V$$(n \times r)$$U$$V$$r$$A$$ であり，この$$U$$U=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_r)$$$ \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j = \left\{ \begin{array}{c} 1 \; (i=j) \\ 0 \; (i \ne j) \end{array} \right. $$$U^TU = I$$I$$r\times r$$V^TV=I$$A$$m=n=r$$A$$$ A^{-1} = VW^{-1}U^T,\;\; W^{-1}=\mathrm{diag}(1/\sigma_1,1/\sigma_…

tello

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-01-13T12:00:38+00:00

dji tello telloのsdk djitellopy 生udfソケットのsdkのラッパー．簡単に利用できるのでおすすめ * 使用例 * api reference 生udpソケットで使う * 使用例 * sdk2.0 開発環境 * telloとwifiで接続するため教育用arrows tabletで開発する(tello eduだとアクセスポイントに接続できるのに，，，)

trajectory

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-04-03T02:08:09+00:00

ロボットアームの軌道生成軌道生成とは，始点から終点へとたどる点列生成の問題である．脇道にそれるが「軌道(trajectory)」，「軌跡(locus)」，「経路(path,route)」といった用語はそれぞれ似ていながら微妙にニュアンスの違いがある．また分野によってもそのニュアンスが異なる．

vector

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-03-03T23:49:23+00:00

三次元ベクトルと座標系ベクトルとは「ベクトル」とは何かというと，一般的には方向と大きさを持つ量として捉えることができるが，その用語が使われる分野によって微妙に異なる意味合いを持っている．ここではロボットの動作やそれが働く環境を記述するために用いる三次元空間における幾何的ベクトル（空間ベクトル）を扱う．$ \boldsymbol{v} $$$ \boldsymbol{v} = \left( \begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right) \tag{1} $$$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z} $$$ \boldsymbol{v} = v_x \boldsymbol{x} + v_y \boldsymbol{y} + v_z \boldsymbol{z} \tag{2} $$$$ \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \boldsymbol{…