微小回転の近似

回転角度が微小な場合の回転行列を考える．

$ \theta = 0 $の周りで$\mathrm{sin}$,$\mathrm{cos}$のテーラー展開を考えると $$ \mathrm{sin}\,x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots \\ \mathrm{cos}\,x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} - \dfrac{x^4}{4!} + \cdots $$ 2次以上の項を無視すると $$ \mathrm{sin}\,x \simeq x \tag{1} $$ $$ \mathrm{cos}\,x \simeq 1 \tag{2} $$

回転軸，角度表現（Rodrigues）を直交行列で表現すると $$ R(\boldsymbol{n}, \theta) $$ $$ = \left( \begin{array}{cc} \mathrm{cos}\,\theta + n_x^2 (1 - \mathrm{cos}\,\theta) & n_x n_y (1 - \mathrm{cos}\,\theta) - n_z \mathrm{sin}\,\theta & n_z n_x (1 - \mathrm{cos}\,\theta) + n_y \mathrm{sin}\,\theta \\ n_x n_y (1 - \mathrm{cos}\,\theta) + n_z \mathrm{sin}\,\theta & \mathrm{cos}\,\theta + n_y^2 (1 - \mathrm{cos}\,\theta) & n_y n_z (1 - \mathrm{cos}\,\theta) - n_x \mathrm{sin}\,\theta \\ n_z n_x (1 - \mathrm{cos}\,\theta) - n_y \mathrm{sin}\,\theta & n_y n_z (1 - \mathrm{cos}\,\theta) + n_x \mathrm{sin}\,\theta & \mathrm{cos}\,\theta + n_z^2 (1 - \mathrm{cos}\,\theta) \end{array} \right) \tag{3} $$ $\theta$が十分小さいとして式(1),(2)を代入すると， $$ R(\boldsymbol{n}, \theta) $$ $$ \simeq \left( \begin{array}{cc} 1 & - n_z \,\theta & n_y \,\theta \\ n_z \,\theta & 1 & - n_x \,\theta \\ - n_y \,\theta & n_x \,\theta & 1 \tag{4} \end{array} \right) $$ この行列は直交行列ではない．

しかし，ここでは次の$\alpha$,$\beta$,$\gamma$表現との比較を行うのが目的なので，直交行列ではないことは問題にしない．

$\alpha$,$\beta$,$\gamma$から直交行列への変換は， $$ R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{cos}\, \alpha & - \mathrm{sin}\, \alpha \\ 0 & \mathrm{sin}\, \alpha & \mathrm{cos}\, \alpha \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \mathrm{cos}\, \beta & 0 & \mathrm{sin}\, \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \mathrm{sin}\, \beta & 0 & \mathrm{cos}\, \beta \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \mathrm{cos}\, \gamma & - \mathrm{sin}\, \gamma & 0 \\ \mathrm{sin}\, \gamma & \mathrm{cos}\, \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ = \left( \begin{array}{cc} \mathrm{c}(\beta) \mathrm{c}(\gamma) & - \mathrm{c}(\beta) \mathrm{s}(\gamma) & \mathrm{s}(\beta) \\ \mathrm{s}(\alpha) \mathrm{s}(\beta) \mathrm{c}(\gamma)+\mathrm{c}(\alpha) \mathrm{s}(\gamma) & - \mathrm{s}(\alpha) \mathrm{s}(\beta) \mathrm{s}(\gamma)+\mathrm{c}(\alpha) \mathrm{c}(\gamma) & - \mathrm{s}(\alpha) \mathrm{c}(\beta) \\ - \mathrm{c}(\alpha) \mathrm{s}(\beta) \mathrm{c}(\gamma)+\mathrm{s}(\alpha) \mathrm{s}(\gamma) & \mathrm{c}(\alpha) \mathrm{s}(\beta) \mathrm{s}(\gamma)+\mathrm{s}(\alpha) \mathrm{c}(\gamma) & \mathrm{c}(\alpha) \mathrm{c}(\beta) \end{array} \right) \tag{5} $$ $\alpha$,$\beta$,$\gamma$がそれぞれ十分に小さいとして式(1),(2)を代入すると， $$ R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma) \simeq \left( \begin{array}{cc} 1 & - \gamma & \beta \\ \alpha\beta+\gamma & - \alpha\beta\gamma+1 & - \alpha \\ - \beta+\alpha\gamma & \beta\gamma+\alpha & 1 \end{array} \right) $$ 2次以上の項を無視すると $$ R_x(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma) \simeq \left( \begin{array}{cc} 1 & - \gamma & \beta \\ \gamma & 1 & - \alpha \\ - \beta & \alpha & 1 \end{array} \right) \tag{6} $$

式(4)と式(6)とを比較すると $$ \alpha \simeq n_x\,\theta \\ \beta \simeq n_y\,\theta \\ \gamma \simeq n_z\,\theta $$ となっていることが分かる．

ここで言いたかったことは何かといえば，回転角度が十分に小さければ 回転軸と回転角度で表現される回転は，その回転ベクトル$\boldsymbol{n}\theta$の成分を$ \alpha$,$\beta$,$\gamma$とした回転に置き換えることができるということである． すなわち， $$ \boldsymbol{n}\theta = \left( \begin{array}{c} n_x\theta \\ n_y\theta \\ n_z\theta \end{array} \right) \simeq \left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right) $$ であり， $$ R(\boldsymbol{n}, \theta) $$ $$ \simeq \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{cos}(n_x\theta) & - \mathrm{sin}(n_x\theta) \\ 0 & \mathrm{sin}(n_x\theta) & \mathrm{cos}(n_x\theta) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \mathrm{cos}(n_y\theta) & 0 & \mathrm{sin}(n_y\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ - \mathrm{sin}(n_y\theta) & 0 & \mathrm{cos}(n_y\theta) \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \mathrm{cos}(n_z\theta) & - \mathrm{sin}(n_z\theta) & 0 \\ \mathrm{sin}(n_z\theta) & \mathrm{cos}(n_z\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ と近似できるということである．

またこの場合，各軸ごとの回転の順序は入れ替えても同様に近似できる．