ニュートン・ラフソン法

$$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) + \left( \dfrac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}} \right) (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0) + \cdots $$ ここで$J=\left( \dfrac{\partial{\boldsymbol{f}}}{\partial{\boldsymbol{x}}} \right)$はヤコビ行列.

簡略化して書くと $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \simeq \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) + J(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0) $$

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$となる$\boldsymbol{x}$を求める

(1) まず$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$が十分に小さい$\boldsymbol{x}_0$を初期解として選ぶ．

(2) 近似的に $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_i) + J(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i) = \boldsymbol{0} $$ として，これを解いて $$ \boldsymbol{x}_{i+1} = \boldsymbol{x}_i - J^{-1}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_i)　 $$ とする．

(3) $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_{i+1})$が，十分に$\boldsymbol{0}$に近ければ終了． $\boldsymbol{x}_{i+1}$を解とする．

そうでなければ$\boldsymbol{x}_{i+1}$を新たな初期解として(2)を繰り返す．