変換の連鎖

3×3の直交行列で表現された座標の姿勢変換（回転変換）や4×4の同時変換行列で表現された座標変換は，乗算により連鎖させることができる．

その乗算は数の演算と異なり可換性がないので（交換法則が成り立たない）どの順で掛けていくかが重要になる．

たとえばx軸周りに$ \alpha $回転する直交行列$R_x (\alpha) $，y軸周りに$ \beta $回転する直交行列$R_y (\beta) $とする．

このとき， $$ R_x (\alpha) R_y (\beta) 　\tag{1} $$ と $$ R_y (\beta) R_x (\alpha) \tag{2} $$ とで何がどう異なるか．このことを十分に理解しないと座標変換を使いこなすことは難しい．

式(1)は図1のようにx軸周りに$\alpha$回転させ，回転後のy軸周りに$\beta$回転させる． 一方，式{2}は図2のようにy軸周りに$\beta$回転させ，回転後のx軸周りに$\alpha$回転させる．

$\alpha$,$\beta$が大きくない場合はあまり違いがわからないかもしれない．

しかし，たとえば$\beta=\pi/2$としてみると， 式(1)の場合は$\alpha$がいくつであっても変換後のz軸は変換前のx軸に重なる． しかし式(2)の場合は変換後のx軸が変換前の-z軸方向になり，変換後のz軸は変換前のxy平面で変化前のx軸を$-\alpha$回転させたものになる．

面白いことに式(2)は，x軸周りに$\alpha$回転させ，回転前のy軸周りに$\beta$回転させたものと一致する．