articles:atan2 [RoboLab.Suehiro]

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====== atan2 ======

一般に正接関数($x=\mathrm{tan}\,\theta$)の逆関数($\theta=\mathrm{tan}^{-1}x$)は値域を$(-\pi/2,\pi/2)$としている．

[{{ articles:atan2.png?250| 図 atan2の役割 }}]
たとえば，
$$
\mathrm{tan}(\pi/4)=1
$$
であり，
$$
\mathrm{tan}^{-1}(1)=\pi/4
$$
である．

しかし，これだとx,yの座標値でx軸からの回転角度を出すときに$\mathrm{tan}^{-1}(y/x)$としたのでは
図の斜線部（第2象限，第3象限）の角度を出すことが出来ない．

これを可能にするのが$\mathrm{atan2}$関数であり，多くのプログラミング言語のライブラリに組み込まれている．
その定義は各象限，$\pi/2$，$-\pi/2$で場合分けされて以下のようになっている．

$$
\theta =
\mathrm{atan2}(y,x)
=　\left\{ \begin{array}{cc}
\mathrm{tan}^{-1}(y/x)-\pi & (x<0, \, y<0) \\
-\pi/2 & (x=0,\, y<0) \\
\mathrm{tan}^{-1}(y/x) & (x>0) \\
\pi/2 & (x=0,\, y>0) \\
\mathrm{tan}^{-1}(y/x)+\pi & (x<0 \, y \ge 0) \\
\mathrm{unknown} & (x=0, \, y=0)
\end{array}
\right.
$$
pythonなど多くのプログラミング言語ライブラリでは$\mathrm{atan2}(0,0)$をunknownとせずに0.0としている．