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articles:svd [2021/07/17 10:42] – [特異値分解と擬似逆行列] Takashi Suehiroarticles:svd [2021/07/24 00:43] (現在) – [他の擬似逆行列を求める方法との比較] Takashi Suehiro
行 50: 行 50:
 AA^{+}A=UWV^TVW^{-1}U^TUWV^T = UWW^{-1}WV^T = UWV^T=A AA^{+}A=UWV^TVW^{-1}U^TUWV^T = UWW^{-1}WV^T = UWV^T=A
 $$ $$
-となり擬似逆行列の条件を満たしていることが確認できる．+同様に 
 +$$ 
 +A^{+}AA^{+}=VW^{-1}U^TUWV^TVW^{-1}U^T = VW^{-1}WW^{-1}U^T = VW^{-1}U^T=A^{+} 
 +$$ 
 +また 
 +$$ 
 +AA^{+}=UWV^TVW^{-1}U^T = UU^T 
 +$$ 
 +すなわち((実数行列なので転置で良い)) 
 +$$ 
 +(AA^{+})^T = (UU^T)^T = UU^T 
 +$$ 
 +同様に 
 +$$ 
 +A^{+}A=VW^{-1}U^TUWV^T = VV^T 
 +$$ 
 +$$ 
 +(A^{+}A)^T = (VV^T)^T = VV^T 
 +$$ 
 +となり擬似逆行列の4条件を満たしていることが確認できる．
  
 ==== 他の擬似逆行列を求める方法との比較 ==== ==== 他の擬似逆行列を求める方法との比較 ====
行 57: 行 76:
 A^+ = (A^TA)^{-1}A^T A^+ = (A^TA)^{-1}A^T
 $$ $$
-これもまた以下を満たし擬似逆行列であることが分かる．+これもまた以下および他の条件を満たし擬似逆行列であることが分かる．
 $$ $$
 AA^+A = A(A^TA)^{-1}A^TA = A AA^+A = A(A^TA)^{-1}A^TA = A
行 69: 行 88:
 を明らかにし，それを回避することができる． を明らかにし，それを回避することができる．
  
-ということで，**擬似逆行列の計算には特異値分解を利用する方が良い**．+ということで，**擬似逆行列の計算には特異値分解を利用する方が良い**((計算の負荷を問題にしなければということだが))．
  
 ===== 線形連立方程式の解 ===== ===== 線形連立方程式の解 =====
行 105: 行 124:
 U^T\boldsymbol{b} = WV^T \boldsymbol{x} U^T\boldsymbol{b} = WV^T \boldsymbol{x}
 $$ $$
-$U$，$V$を直交補空間の基底ベクトルを加えてそれぞれ$m \times m$，$n \times n$に拡大すると，+$U$，$V$を直交補空間の基底ベクトルを加えてそれぞれ$m \times m$，$n \times n$に拡大すると 
 +(( 
 +$U^\perp$や$V^\perp$は基底ベクトルを縦にならべたものとするなら転置しなくてはならないが， 
 +式が煩雑になるので基底ベクトルを横に並べたものと思って下さい． 
 +)) 
 +，
 $$ $$
 \left( \begin{array}{c} U^T \\ U^\perp \end{array} \right)\boldsymbol{b} \left( \begin{array}{c} U^T \\ U^\perp \end{array} \right)\boldsymbol{b}
  • articles/svd.1626486146.txt.gz
  • 最終更新: 2021/07/17 10:42
  • by Takashi Suehiro