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articles:matrix [2022/03/04 08:52] – [回転行列の演算と練習問題] Takashi Suehiroarticles:matrix [2023/01/30 11:55] (現在) – [直交行列と直交座標系] Takashi Suehiro
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 ===== 直交行列と直交座標系 ===== ===== 直交行列と直交座標系 =====
  
-直交行列とは以下を満たす行列のことである．+一般的に直交行列とは以下を満たす行列のことである．
 $$ $$
  A^\mathrm{T} A = A A^\mathrm{T} = I  A^\mathrm{T} A = A A^\mathrm{T} = I
 $$ $$
-ここで$ I $は単位行列， +ここで$ I $は単位行列，これは
-$$ +
-I = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) +
-$$ +
-である． +
-これは+
 $$ $$
 A^{-1}=A^\mathrm{T} A^{-1}=A^\mathrm{T}
 $$ $$
 ということであり，行列$ A $の転置行列$ A^\mathrm{T}$が逆行列$A^{-1}$になっていることがわかる． ということであり，行列$ A $の転置行列$ A^\mathrm{T}$が逆行列$A^{-1}$になっていることがわかる．
 +
 +ロボットの働く環境の空間的記述には主に3次元の直行行列を扱う．その場合，
 +$$
 +I = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)
 +$$
 +である．
  
 ここで$ A $を以下のように3つの縦ベクトルで表現すると， ここで$ A $を以下のように3つの縦ベクトルで表現すると，
行 42: 行 43:
 $$ $$
 であり，$ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $  は正規直交基底となっている． であり，$ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $  は正規直交基底となっている．
-つまり直交行列は三次元直交座標系の座標軸を並べたものであり，これを用いて座標系の姿勢を表現することができる((基底ベクトルの一つの符号を反転させることで鏡像変換，つまり右手系と左手系の変換もできるが，複雑になるのでここでは回転変換のみを考える．))．+つまり3x3の直交行列は三次元直交座標系の座標軸を並べたものであり，これを用いて座標系の姿勢を表現することができる((基底ベクトルの一つの符号を反転させることで鏡像変換，つまり右手系と左手系の変換もできるが，複雑になるのでここでは回転変換のみを考える．))．
  
  
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  • 最終更新: 2022/03/04 08:52
  • by Takashi Suehiro