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--- articles:geo_manual [2021/11/26 14:51] – [例題3] Takashi Suehiro
+++ articles:geo_manual [2021/11/26 22:14] (現在) – [例題1の解答] Takashi Suehiro
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 一致させるための、x軸以外の回転軸を1つとその
 まわりの回転角度をもとめよ。
 ヒント：
-  * 記号なしリストまずは回転軸を求める．どこにあるか．直観でも良い．
+  * まずは回転軸を求める．どこにあるか．直観でも良い．
   * 回転軸周りの回転角度は，例題2を参考にする．
 [[articles:geo_manual#例題4の解答|例題4の解答]]
+==== 例題5 ====
+例題4で求めた回転軸、回転角度で
+a=VECTOR(1,1,0)を回転させ、 b=VECTOR(1,0,1)に
+一致することを確認せよ。
+[[articles:geo_manual#例題5の解答|例題5の解答]]
+===== 四元数 =====
+==== 例題6 ====
+a=VECTOR(1,1,0)をx軸まわりに90度回転させたベ
+クトルを**四元数を用いて**求めよ。
+[[articles:geo_manual#例題6の解答|例題6の解答]]
+===== 座標系（FRAME） =====
+==== 例題7 ====
+座標系$\Sigma_0$を基準座標とする．
+  - $\Sigma_0$をz方向に1.0並進移動，z軸まわりにpi/2回転した座標系$\Sigma_1$の座標変換(FRAME．行列ではないがここでは$^0T_1$と表記)を生成せよ．
+  - $\Sigma_1$からみてx方向に1.0並進移動，x軸まわりにpi/2回転した座標系$\Sigma_2$の$\Sigma_0$からの座標変換$^0T_2$を求めよ．
+  - $\Sigma_2$で，p=VECTOIR(1,1,0)と表現される位置ベクトルの$\Sigma_1$，$\Sigma_0$からの表現を求めよ．
+[[articles:geo_manual#例題7の解答|例題7の解答]]
+===== 解答例 =====
 ==== 例題1の解答 ====
 [[articles:geo_manual#例題1|例題1]] a=VECTOR(0.87, 0.5, 0)とb=VECTOR(0.71, 0.71, 0)との間の角度を求める。
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 ==== 例題2の解答 ====
+[{{ articles:geo_ex02.png?200|例題2の補足}}]
 [[articles:geo_manual#例題2|例題2]]
 x=VECTOR(1,0,0)を基準に
@@ 行 97: / 行 132: @@
 === 正解例 ===
 <code python>
 >>> a=VECTOR(-0.707,-0.707,0)
@@ 行 106: / 行 142: @@
 </code>
-[{{articles:geo_ex02.png?200|例題2の補足}}]
 ==== 例題3の解答 ====
@@ 行 121: / 行 157: @@
 </code>
+==== 例題4の解答 ====
+[[articles:geo_manual#例題4|例題4]]
+a=VECTOR(1,1,0)を回転させ，b=VECTOR(1,0,1)に
+一致させるための，x軸以外の回転軸を1つとその
+回転角度をもとめよ．
+=== 回転軸をa,bの外積とした場合 ===
+<code python>
+>>> c=a*b
+>>> c
+v:[1.0, -1.0, -1.0]
+>>> kco=a.dot(b)
+>>> ksi=abs(c)
+>>> th=atan2(ksi,kco)
+>>> th
+.0471975511965976
+>>> th*180/pi
+.999999999999993
+</code>
+=== 回転軸をa,bの間にした場合 ===
+回転軸はa+b, 回転角度はpi,
+=== 汎用的な答え ===
+回転軸はa+bとa*bが張る平面上のどこでも良い．
+したがって，
+それぞれの比率をx,yとして関数を書くと，
+<code python>
+>>> def foo(a,b,x,y) :
+...    r1=a+b
+...    r2=a*b
+...    r=(x*r1+y*r2).normalize()
+...    da=(r*a).normalize()
+...    db=(r*b).normalize8)
+...    dc=r*da
+...    kco=da.dot(db)
+...    ksi=dc.dot(db)
+...    return(r,atan2(ksi,kco))
+...
+>>> foo(a,b,1,0)
+(v:[0.8164965809277261, 0.4082482904638631, 0.4082482904638631], 3.141592653589793)
+>>> foo(a,b,0,1)
+(v:[0.5773502691896258, -0.5773502691896258, -0.5773502691896258], 1.0471975511965979)
+>>> foo(a,b,0,-1)
+(v:[-0.5773502691896258, 0.5773502691896258, 0.5773502691896258], -1.0471975511965979)
+>>> foo(a,b,1,1)
+(v:[1.0, 0.0, 0.0], 1.5707963267948966)
+>>>
+</code>
+==== 例題5の解答 ====
+[[articles:geo_manual#例題5|例題5]]
+例題4で求めた回転軸、回転角度で
+a=VECTOR(1,1,0)を回転させ、 b=VECTOR(1,0,1)に
+一致することを確認せよ。
+<code python>
+>>> tmp=foo(a,b,0,1)
+>>> R=MATRIX(axis=tmp[0],angle=tmp[1])
+>>> R*a
+v:[1.0, -2.220446049250313e-16, 1.0000000000000002]
+>>>
+</code>
+==== 例題6の解答 ====
+[[articles:geo_manual#例題6|例題6]]
+a=VECTOR(1,1,0)をx軸まわりに90度回転させたベ
+クトルを**四元数を用いて**求めよ。
+<code python>
+>>> a=VECTOR(1,1,0)
+>>> qa=QUATERNION(w_v=[0,a])
+>>> qr=(QUATERNION(a=pi/2))
+>>> qb=qr*qa*qr.conjugate()
+>>> qb
+q:(0.0, v:[1.0, 2.220446049250313e-16, 1.0])
+>>> b=qb.v
+>>> b
+v:[1.0, 2.220446049250313e-16, 1.0]
+>>>
+</code>
+==== 例題7の解答 ====
+[[articles:geo_manual#例題7|例題7]]
+座標系$\Sigma_0$を基準座標とする．[{{ articles:geo_ex07.png?300|例題7のイメージ図}}]
+  - $\Sigma_0$をz方向に1.0並進移動，z軸まわりにpi/2回転した座標系$\Sigma_1$の座標変換(FRAME．行列ではないがここでは$^0T_1$と表記)を生成せよ．
+  - $\Sigma_1$からみてx方向に1.0並進移動，x軸まわりにpi/2回転した座標系$\Sigma_2$の$\Sigma_0$からの座標変換$^0T_2$を求めよ．
+  - $\Sigma_2$で，p=VECTOIR(1,1,0)と表現される位置ベクトルの$\Sigma_1$，$\Sigma_0$からの表現を求めよ．
+<code python>
+>>> t1=FRAME(xyzabc=[0,0,1,0,0,pi/2])
+>>> t2_1=FRAME(xyzabc=[1,0,0,pi/2,0,0])
+>>> t2=t1*t2_1
+>>> t2
+f:[m:[[6.123233995736766e-17, -6.123233995736766e-17,1.0], [1.0, 3.749399456654644e-33, -6.123233995736766e-17], [0.0, 1.0, 6.123233995736766e-17]],v:[6.123233995736766e-17, 1.0, 1.0])
+>>> p=VECTOR(1,1,0)
+>>> t2_1*p
+v:[2.0, 6.123233995736766e-17, 1.0]
+>>> t1*_
+v:[6.123233995736766e-17, 2.0, 2.0]
+>>> t2*p
+v:[6.123233995736766e-17, 2.0, 2.0]
+</code>